MOVIMIENTO ONDULATORIO

Proceso por el que se propaga energía de un lugar a otro sin transferencia de materia, mediante ondas mecánicas o electromagnéticas. En cualquier punto de la trayectoria de propagación se produce un desplazamiento periódico, u oscilación, alrededor de una posición de equilibrio. Puede ser una oscilación de moléculas de aire, como en el caso del sonido que viaja por la atmósfera, de moléculas de agua (como en las olas que se forman en la superficie del mar) o de porciones de una cuerda o un resorte. En todos estos casos, las partículas oscilan en torno a su posición de equilibrio y sólo la energía avanza de forma continua.

Estas ondas se denominan mecánicas porque la energía se transmite a través de un medio material, sin ningún movimiento global del propio medio. Las únicas ondas que no requieren un medio material para su propagación son las ondas electromagnéticas; en ese caso las oscilaciones corresponden a variaciones en la intensidad de campos magnéticos y eléctricos. Oscilación En física, química e ingeniería, movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio. El recorrido que consiste en ir desde una posición extrema a la otra y volver a la primera,pasando dos veces por la posición central, se denomina ciclo. El número de ciclos por segundo, o hercios (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilación. Cuando se pone en movimiento un péndulo o se puntea la cuerda de una guitarra, el péndulo y la cuerda acaban deteniéndose si no actúan sobre ellos otras fuerzas. La fuerza que hace que dejen de oscilar se denomina amortiguadora. Con frecuencia, estas fuerzas son fuerzas de rozamiento, pero en un sistema oscilante pueden existir otras fuerzas amortiguadoras, por ejemplo eléctricas o magnéticas.

Flameo Un tipo peligroso de vibración es la oscilación repentina y violenta conocida como flameo. Este fenómeno se produce sobre todo en las superficies de control de los aviones, pero también ocurre en los cables eléctricos cubiertos de escarcha cuando la velocidad del viento es elevada. Uno de los casos de flameo más espectaculares provocó en 1940 el hundimiento de un puente en Tacoma, Estados Unidos. La causa fue un viento huracanado cuya velocidad potenció la vibración del puente. En el flameo, la amplitud de vibración de una estructura puede aumentar tan rápidamente como para que ésta se desintegre casi de forma instantánea. Por eso, impedir el flameo es muy importante a la hora de diseñar puentes y aviones.

En el caso de los aviones, el análisis de flameo suele complementarse con pruebas realizadas con una maqueta del avión en un túnel aerodinámico. Frecuencia Término empleado en física para indicar el número de veces que se repite en un segundo cualquier fenómeno periódico. La frecuencia es muy importante en muchas áreas de la física, como la mecánica o el estudio de las ondas de sonido. Las frecuencias de los objetos oscilantes abarcan una amplísima gama de valores. Los temblores de los terremotos pueden tener una frecuencia inferior a 1, mientras que las veloces oscilaciones electromagnéticas de los rayos gamma pueden tener frecuencias de 1020 o más. En casi todas las formas de vibración mecánica existe una relación entre la frecuencia y las dimensiones físicas del objeto que vibra. Por ejemplo, el tiempo que necesita un péndulo para realizar una oscilación completa depende en parte de la longitud del péndulo; la frecuencia de vibración de la cuerda de un instrumento musical está determinada en parte por la longitud de la cuerda. En general, cuanto más corto es el objeto, mayor es la frecuencia de vibración. En todas las clases de movimiento ondulatorio, la frecuencia de la onda suele darse indicando el número de crestas de onda que pasan por un punto determinado cada segundo.

La velocidad de la onda (v) y su frecuencia (f) y longitud de onda (l) están relacionadas entre sí. La longitud de onda (la distancia entre dos crestas consecutivas) es inversamente proporcional a la frecuencia y directamente proporcional a la velocidad. v = l.f En una onda transversal, la longitud de onda es la distancia entre dos crestas o valles sucesivos.

En una onda longitudinal, corresponde a la distancia entre dos compresiones o entre dos enrarecimientos sucesivos. En el caso de una onda mecánica, su amplitud es el máximo desplazamiento de las partículas que vibran. En una onda electromagnética, su amplitud es la intensidad máxima del campo eléctrico o del campo magnético. La frecuencia se expresa en hercios (Hz); una frecuencia de 1 Hz significa que existe 1 ciclo u oscilación por segundo. Las unidades como kilohercios (kHz) (miles de ciclos por segundo), megahercios (MHz) (millones de ciclos por segundo) y gigahercios (GHz) (miles de millones de ciclos por segundo) se usan para describir fenómenos de alta frecuencia como las ondas de radio. Estas ondas y otros tipos de radiación electromagnética pueden caracterizarse por sus longitudes de onda o por sus frecuencias. Frecuencia natural Cualquier objeto oscilante tiene una frecuencia natural, que es la frecuencia con la que tiende a vibrar si no se le perturba.

Por ejemplo, la frecuencia natural de un péndulo de 1 m de longitud es de 0,5 Hz, lo que significa que el péndulo va y vuelve una vez cada 2 segundos. Si se le da un ligero impulso al péndulo cada 2 segundos, la amplitud de la oscilación aumenta gradualmente hasta hacerse muy grande. El fenómeno por el que una fuerza relativamente pequeña aplicada de forma repetida hace que la amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande se denomina resonancia. Muchos problemas graves de vibración en ingeniería son debidos a la resonancia. Por ejemplo, si la frecuencia natural de la carrocería de un automóvil es la misma que el ritmo del motor cuando gira a una velocidad determinada, la carrocería puede empezar a vibrar o a dar fuertes sacudidas. Esta vibración puede evitarse al montar el motor sobre un material amortiguador, por ejemplo hule o goma, para aislarlo de la carrocería.

Tipos de ondas Las ondas se clasifican según la dirección de los desplazamientos de las partículas en relación a la dirección del movimiento de la propia onda. Si la vibración es paralela a la dirección de propagación de la onda, la onda se denomina longitudinal. Una onda longitudinal siempre es mecánica y se debe a las sucesivas compresiones (estados de máxima densidad y presión) y enrarecimientos (estados de mínima densidad y presión) del medio. Las ondas sonoras son un ejemplo típico de esta forma de movimiento ondulatorio. Otro tipo de onda es la onda transversal, en la que las vibraciones son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Las ondas transversales pueden ser mecánicas, como las ondas que se propagan a lo largo de una cuerda tensa cuando se produce una perturbación en uno de sus extremos, o electromagnéticas, como la luz, los rayos X o las ondas de radio. En esos casos, las direcciones de los campos eléctrico y magnético son perpendiculares a la dirección de propagación. Algunos movimientos ondulatorios mecánicos, como las olas superficiales de los líquidos, son combinaciones de movimientos longitudinales y transversales, con lo que las partículas de líquido se mueven de forma circular.

Ondas Unidimensionales

Cuando una perturbación, en el estado físico de un sistema en un punto, se propaga conservando la forma de la perturbación, entonces, el proceso de propagación se llama onda . Si la forma de la perturbación se modifica a lo largo de la propagación, el proceso se llama difusión. Los elementos básicos de la propagación ondulatoria son: Se emite la perturbación en el estado del canal, se propaga transportando energía en forma de información. No se propaga materia. Emisión Propagación Recepción Antena F Fuente emisora. Introduce una perturbación en C (señal) Canal C Medio transmisor. La perturbación se propaga a través de él. Receptor La perturbación recibida es absorbida Representación de ondas La perturbación puede representarse por una variable escalar (onda escalar) o vectorial (onda vectorial).Onda Escalar La presión p en un gas (sonido). Vectorial Transversal La deformación de una cuerda. Longitudinal La deformación de un resorte. Modelo matemático de una onda unidimensional Describe la propagación a través del canal, es decir, el valor de la perturbación en cada punto p del canal y en cada instante. El estado del canal estará dado por una función onda. 1) Perturbación en x1 y en t Þ p(x;t) = Ψ(x;t) Ψ(x;t) es la función de onda. La gráfica muestra la representación en el instante to (foto). La función fuente o función antena, corresponde a la fuente o antena emisora, que es un dispositivo que introduce una perturbación en un punto de un canal, por ej. En xo.

La perturbación en ese punto será una función controlada por una antena (función antena). 2) Perturbación en x = 0 y en función de t: p(t) = f(t) se demuestra que,si f(t) es la función antena, entonces, la función de onda es

f(t ± x/v)

para la onda que se propaga con velocidad v por los x.

p(x;t) = Ψ(x;t) = f(t – x/v) + f(t + x/v)t = 0 t > 0

Comportamiento de las ondas La velocidad de una onda en la materia depende de la elasticidad y densidad del medio. En una onda transversal a lo largo de una cuerda tensa, por ejemplo, la velocidad depende de la tensión de la cuerda y de su densidad lineal o masa por unidad de longitud. La velocidad puede duplicarse cuadruplicando la tensión, o reducirse a la mitad cuadruplicando la densidad lineal. La velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío (entre ellas la luz) es constante y su valor es de aproximadamente 300.000 km/s.

Al atravesar un medio material esta velocidad varía sin superar nunca su valor en el vacío. Cuando dos ondas se encuentran en un punto, el desplazamiento resultante en ese punto es la suma de los desplazamientos individuales producidos por cada una de las ondas. Si los desplazamientos van en el mismo sentido, ambas ondas se refuerzan; si van en sentido opuesto, se debilitan mutuamente. Este fenómeno se conoce como interferencia. Cuando dos ondas de igual amplitud, longitud de onda y velocidad avanzan en sentido opuesto a través de un medio se forman ondas estacionarias. Por ejemplo, si se ata a una pared el extremo de una cuerda y se agita el otro extremo hacia arriba y hacia abajo, las ondas se reflejan en la pared y vuelven en sentido inverso. Si suponemos que la reflexión es perfectamente eficiente, la onda reflejada estará media longitud de onda retrasada con respecto a la onda inicial. Se producirá interferencia entre ambas ondas y el desplazamiento resultante en cualquier punto y momento será la suma de los desplazamientos correspondientes a la onda incidente y la onda reflejada. En los puntos en los que una cresta de la onda incidente coincide con un valle de la reflejada, no existe movimiento; estos puntos se denominan nodos. A mitad de camino entre dos nodos, las dos ondas están en fase, es decir, las crestas coinciden con crestas y los valles con valles; en esos puntos, la amplitud de la onda resultante es dos veces mayor que la de la onda incidente; por tanto, la cuerda queda dividida por los nodos en secciones de una longitud de onda. Entre los nodos (que no avanzan a través de la cuerda), la cuerda vibra transversalmente. Las ondas estacionarias aparecen también en las cuerdas de los instrumentos musicales. Por ejemplo, una cuerda de violín vibra como un todo (con nodos en los extremos), por mitades (con un nodo adicional en el centro), por tercios. Todas estas vibraciones se producen de forma simultánea; la vibración de la cuerda como un todo produce el tono fundamental y las restantes vibraciones generan los diferentes armónicos.

En mecánica cuántica, la estructura del átomo se explica por analogía con un sistema de ondas estacionarias. Gran parte de los avances de la física moderna se basan en elaboraciones de la teoría de las ondas y el movimiento ondulatorio. Oscilaciones amortiguadas La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene. Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad Fr=-lv, donde l es una constante que depende del sistema físico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta. La ecuación del movimiento se escribe ma=-kx-λv Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la velocidad es la derivada primera de x. La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión La características esenciales de las oscilaciones amortiguadas: La amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo. La energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad. En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una espiral que converge hacia el origen. Si el amortiguamiento es grande, g puede ser mayor que w0, y w puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobreamortiguadas). En ambos casos, no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía que pierde la partícula que experimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea. Condiciones iniciales La posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial j . Para t=0, x0=A•senj v0=-Ag•senj+Aw•cosj En este sistema de dos ecuaciones se despeja A y j a partir de los datos de x0 y v0 Ejemplo: Sea una oscilación amortiguada de frecuencia angular propia ω0=100 rad/s, y cuya constante de amortiguamiento γ=7.0 s-1. Sabiendo que la partícula parte de la posición x0=5 con velocidad inicial nula, v0=0, escribir la ecuación de la oscilación amortiguada. La frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω es 5=A•senj 0=-7A•senj +99.75•A•cosj La ecuación de la oscilación amortiguada es x=5.01•exp(-7t)•sen(99.75t+1.5) Como vemos la amplitud A no es 5 ni la fase inicial φ es π/2, como en las oscilaciones libres Posiciones de retorno Las posiciones de máximo desplazamiento, son aquellas en las que la velocidad del móvil es cero. En la expresión de la velocidad ponemos v=0 y despejamos el argumento ωt+φ tan(ωt+φ)=ω/γ Las posiciones de los puntos de retorno son Si el móvil parte de la posición x0 con velocidad v0=0, la fase vale tanφ=ω/γ, y A=x0/senφ Ejemplo: Las sucesivas posiciones de los puntos de retorno para ω0=100 rad/s, γ=7.0 s-1 del ejemplo del apartado anterior son: t0=0, x0=5 t1=0.031, x1=-4.01 t2=0.063, x2=3.22 t3=0.094, x3=-2.58 y así, sucesivamente.

La energía del oscilador amortiguado

La energía de la partícula que describe una oscilación amortiguada es la suma de la energía cinética de la partícula y de la energía potencial del muelle elástico deformado. Introducimos las expresiones de la posición x y de la velocidad v de la partícula en función del tiempo t. Si la constante de amortiguamiento γ es pequeña, como hemos visto en el ejemplo del apartado anterior ω0≈ω La energía decrece exponencialmente con el tiempo, pero con una pequeña ondulación debida al segundo término entre paréntesis, tal como apreciamos en la figura Gravedad La gravedad, denominada también fuerza gravitatoria, fuerza de gravedad, interacción gravitatoria o gravitación, es la fuerza teórica1 de atracción que experimentan entre sí los objetos con masa. Tiene relación con la fuerza que se conoce como peso. El peso es la fuerza con que es atraído cualquier objeto por la masa de la Tierra. Se aprovecha esta fuerza para medir la masa de los objetos con bastante precisión, por medio de básculas de pesas. La precisión alcanzada al pesar se debe a que la fuerza de gravedad que existe entre la Tierra y los objetos de su superficie es similar en cualquier lugar que esté a la misma distancia del centro terrestre; aunque disminuirá si se alejan, tanto de la pesa como del objeto a pesar. En otros planetas o satélites, el peso de los objetos varía si la masa de los planetas o satélites es diferente (mayor o menor) a la masa de la Tierra. Los efectos de la gravedad son siempre atractivos, y la fuerza resultante se calcula respecto del centro de gravedad de ambos objetos (en el caso de la Tierra, el centro de gravedad es su centro de masas, al igual que en la mayoría de los cuerpos celestes de características homogéneas).

La gravedad tiene un alcance teórico infinito, sin embargo, la fuerza es mayor si los objetos están cerca uno del otro, y mientras se van alejando dicha fuerza pierde intensidad. La pérdida de intensidad de esta fuerza es proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Por ejemplo, si se aleja un objeto de otro al doble de distancia, entonces la fuerza de gravedad será la cuarta parte. Se trata de una de las cuatro fuerzas fundamentales observadas en la naturaleza, siendo la responsable de los movimientos a gran escala que se observan en el Universo: La órbita de la Luna alrededor de la Tierra, la órbita de los planetas alrededor del Sol, etcétera. Introducción El término «gravedad» se utiliza también para designar la intensidad del fenómeno gravitatorio en la superficie de la Tierra. Todos los cuerpos experimentan una fuerza de atracción por el simple hecho de tener masa. En el ámbito cotidiano, esta fuerza equivale al peso; en este caso, la masa del objeto y la masa de la Tierra se atraen, y el objeto queda sometido a una fuerza dirigida hacia el centro de la Tierra.

Según la Segunda Ley de Newton, la fuerza a aplicada al objeto es directamente proporcional al producto de su masa y su aceleración:

Cuando se trata de la fuerza «peso», esta aceleración se designa por g y se le llama aceleración de la gravedad:

Isaac Newton fue primero en darse cuenta que la fuerza que hace que los objetos caigan con aceleración constante en la Tierra (gravedad terrestre) y la fuerza que mantiene en movimiento los planetas y las estrellas es de la misma naturaleza; esta idea le llevó a formular la primera teoría general de la gravitación, la universalidad del fenómeno, expuesta en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. La teoría de la relatividad general, hace un análisis diferente de la interacción gravitatoria. De acuerdo con esta teoría puede entenderse como un efecto geométrico de la materia sobre el espacio-tiempo. Cuando una cierta cantidad de materia ocupa una región del espacio-tiempo, ésta provoca que el espacio-tiempo se deforme.

Visto así, la fuerza gravitatoria no es ya una misteriosa «fuerza que atrae» sino el efecto que produce la deformación del espacio-tiempo, de geometría no euclídea, sobre el movimiento de los cuerpos. Dado que todos los objetos (según esta teoría) se mueven en el espacio-tiempo, al deformarse este espacio, parte de esa velocidad será desviada produciéndose aceleración en una dirección, que es la denominada fuerza de gravedad. Variaciones de la gravedad en lugares diferentes de la Tierra La fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra no es exactamente igual en todos los sitios. Existen pequeñas variaciones de un lugar a otro. Principalmente son dos los factores causantes de esto: La forma de la superficie de la Tierra es próxima a un esferoide oblato, por lo que su campo gravitatorio no es un campo central exacto, y esto se refleja en un momento cuadripolar no nulo. El efecto del momento cuadripolar por ejemplo es importante en el diseño de satélites artificiales. Además, las irregularidades de la superficie y ciertas homogeneidades continentales provocan pequeñas perturbaciones del campo a lo largo de la superficie.

El primer factor mencionado provoca que el campo gravitatorio aumente con la latitud debido a dos efectos:

el achatamiento de la Tierra en los polos hace que la distancia r se reduzca a medida que la latitud aumenta.3

Es decir, que estando en el ecuador la fuerza de gravedad es menor que en otras latitudes, y a medida que nos vayamos desplazando al sur o al norte, la fuerza de gravedad se va incrementando. Cuando lleguemos a los polos, la gravedad será máxima (aunque con poca diferencia).

Los valores de (la fuerza específica de la gravedad) en el ecuador y en los polos son respectivamente:4

Además, el efecto del momento cuadripolar hace que los satélites artificiales que orbitan alrededor de la tierra estén sometidos a un torque que impide que tengan órbitas cerradas o exactamente periódicas. El segundo factor es el responsable de que existan pequeñas variaciones en un lugar sin que tenga que ver la latitud. A veces hay una pequeña variación en una zona distante de otra pocos kilómetros. Estas variaciones se deben a que cerca de la superficie pueden existir rocas de densidad mayor a la normal (llamadas mascon), lo que produce que sea mayor la gravedad sobre esos lugares. Esas irregularidades fueron causantes de sorpresivos cambios de dirección en satélites artificiales, motivo por el cual se empezó a estudiar el fenómeno. Las variaciones mencionadas son tan pequeñas que sólo se las puede detectar con instrumentos de gran precisión. Esas pequeñas irregularidades respecto de los valores medios pueden utilizarse para estudiar la distribución de densidad en la corteza terrestre empleando técnicas de gravimetría). La fuerza de gravedad es máxima en la superficie terrestre. La gravedad ejercida sobre los objetos que están sobre la superficie tiende a disminuir al alejarse del planeta, por aumentar la distancia r entre las masas implicadas. Sin embargo, también disminuye al adentrarse en el interior de la Tierra, ya que cada vez una porción mayor de masa del planeta la rodea, contrarrestándose las fuerzas ejercidas en direcciones opuestas. En el centro de la Tierra la gravedad es nula porque se contrarrestan todas las fuerzas de atracción, aunque está sometido a una enorme presión por el peso de las capas superiores del planeta. Campo gravitatorio En física, el campo gravitatorio o campo gravitacional es un campo de fuerzas que representa la interacción gravitatoria. Si se dispone en cierta región del espacio una masa M, el espacio alrededor de M adquiere ciertas características que no disponía cuando no estaba M. Este hecho se puede comprobar acercando otra masa m y constatando que se produce la interacción. A la situación física que produce la masa M se la denomina campo gravitatorio. Afirmar que existe algo alrededor de M es puramente especulativo, ya que sólo se nota el campo cuando se coloca la otra masa m, a la que se llama masa testigo.

El tratamiento que recibe este campo es diferente según las necesidades del problema: En física newtoniana o física no-relativista el campo gravitatorio viene dado por un campo vectorial. En física relativista, el campo gravitatorio viene dado por un campo tensorial de segundo orden. Campo gravitatorio en física newtoniana En física newtoniana, el campo gravitatorio es un campo vectorial conservativo cuyas líneas de campo son abiertas. Puede definirse como la fuerza por unidad de masa que experimentará una partícula puntual situada ante la presencia de una distribución de masa. Sus unidades son, por lo tanto, las de una aceleración, m s-2. Matemáticamente se puede definir el campo como,

donde

es la fuerza de gravedad experimentada por la partícula de masa m en presencia de un campo . Ejemplos de campos gravitatorios

El campo creado por una distribución de masa esférica, viene dado en cada punto fuera de la esfera es un campo vectorial que apunta hacia el centro de la esfera:

(1)

donde r es la distancia radial al centro de la distribución. En el interior de la esfera central el campo varía según una ley dependiente de la distribución de masa (para una esfera uniforme, crece en forma lineal desde el centro hasta el radio exterior de la esfera). La ecuación (1), por tanto, sólo es válida a partir de la superficie exterior que limita el cuerpo que provoca el campo, punto a partir del cual el campo decrece según la ley de la inversa del cuadrado. El campo creado por una distribución de masa totalmente general en un punto del espacio :

El interés de realizar una descripción de la interacción gravitatoria por medio de un campo radica en la posibilidad de poder expresar la interacción gravitacional como el producto de dos términos, uno que depende del valor local del campo y otro, una propiedad escalar que representa la respuesta del objeto que sufre la acción del campo.

Por ejemplo, el movimiento de un planeta se puede describir como el movimiento orbital del planeta en presencia de un campo gravitatorio creado por el Sol. Los campos gravitatorios son aditivos; el campo gravitatorio creado por una distribución de masa es igual a la suma de los campos creados por sus diferentes elementos. El campo gravitatorio del Sistema Solar es el creado por el Sol, Júpiter y los demás planetas. Líneas de fuerza Una línea de fuerza o línea de flujo, normalmente en el contexto del electromagnetismo, es la curva cuya tangente proporciona la dirección del campo en ese punto. Como resultado, también es perpendicular a las líneas equipotenciales en la dirección convencional de mayor a menor potencial. Suponen una forma útil de esquematizar gráficamente un campo, aunque son imaginarias y no tienen presencia física. Potencial gravitatorio La naturaleza conservativa del campo permite definir una magnitud, que se podría llamar energía mecánica, tal que la suma de la energía potencial y energía cinética del sistema es una cantidad constante. Así a cada punto del espacio se le puede asignar un potencial Φ gravitatorio relacionado con la densidad de la distribución de masa y con el vector de campo gravitatorio por:

Campo gravitatorio en física relativista En la teoría de la relatividad general el campo gravitatorio no se describe como un campo de fuerzas, sino que las trayectorias curvas que los cuerpos siguen en el espacio tridimensional, son sólo un reflejo de que el espacio-tiempo es curvo. De acuerdo con la teoría de la relatividad general, una partícula puntual en un campo gravitatorio está siguiendo una línea de mínima curvatura, llamada geodésica, sobre un espacio-tiempo curvo. Por tanto, la curvatura de las trayectorias tridimensionales se debe a que la línea más recta posible en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones no se proyecta como una recta, vista desde el espacio tridimensional. El campo gravitatorio se interpreta en relatividad como la curvatura del espacio-tiempo que, en presencia de materia, deja de ser plano. Allí donde el espacio-tiempo no es plano, se percibe ese hecho como campo gravitatorio local, y viceversa, allí donde se percibe campo gravitatorio se tiene una geometría curva del espacio-tiempo. Así, la teoría relativista de Einstein del campo gravitatorio es una teoría de la estructura geométrica local del espacio-tiempo. En esta teoría el tensor de curvatura de Ricci está asociado al tensor de energía-momento de la materia:

Donde:

son las componentes del tensor de curvatura de Ricci.

son las componentes del tensor métrico que permite medir distancias en el espacio-tiempo curvo.

es el escalar de curvatura de Ricci.

son g son las componentes del Tensor de energía-impulso de la materia que crea el campo.

son la constante de la gravitación universal y la velocidad de la luz.

Cinetica de cuerpos rigidos en tres dimensiones

En los temas de Movimiento Plano de cuerpos rígidos: Fuerzas y aceleraciones , Metodos de la energia y la cantidad de movimiento se mostro el movimiento plano de los cuerpos rígidos y sistemas de cuerpo rigido.  En Movimiento plano de cuerpos rigidos: fuerzas y aceleraciones y en la segunda mitad de metodos de la energia y la cantidad de movimiento, el aprendizaje se limita más a las placas planas de cuerpos simétricos con respecto al plano de refenrencia, muchos de los resultados fundamentales se obtubieron en esos dos temas siguen siendo válidos en el caso del movimiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones.

Por ejemplo, las 2 ecuaciones fundamentales

sobre las cuales se basó el análisis del movimiento plano de un cuerpo rígido siguen siendo válidas en elcasomás general del movimiento de un cuerpo rígido.  estas ecuaciones expresan que el sistema de las fuerzas externas es equipolente al sistema consistente enel vector ma fijo en G y el par momento Hg.

 

sin embargo, la relación Hg=Iw, la cual permitió deternminar la cantidad de movimientoangular de una placa rígida y que desempeña una parte importante en la solucion de problemas que implican el movimiento plano de placas y cuerpos simétricos con respecto al plano de ferenencia, deja de ser válida enelcaso de cuerpos no simétricos o movimiento en tres dimensiones. En consecuencia, en la primera parte: cantidad de movimiento angluar de un cuerpo rigido en tres dimenciones; se formula un método más general para calcular la cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo rigido en tres dimenciones.

Asimismo, si bien la característica principal del método del impulso-cantidad de movimiento que se analizo anteriormente esto es, la reducción de cantidad de movimiento de las particilas de un cuerpo rígido a un vector de movimiento lineal mv fijo al centro de masa G del cuerpo y un par de cantidad de movimiento angular Hg, sigue siendo válida, la relación Hg=Iw debe dascatarse y sustituirse por la relacion general que se formula en c anteantidad de movimiento angluar de un cuerpo rigido en tres dimenciones  antes de que este método pueda aplicarse al movimiento tridimensional de un cuerporígido.

 

*-Cantidad de Movimiento angular de un cuerpo rigido en tres dimensiones.

 

Este tema habla de cómo la cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo alrederor de su centro de masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular w del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

 

La cantidad de movimiento angular del cuerpo alredeor de G puede expresarse como

donde ri´y vi´denotan respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi, de masa ^mi(incremento de Mi), relativa al sistema de referencia centroidal Gxyz (figura 18.2).

Pero vi´=w*ri´,donde w es la velocidad angular del cuerpo enel instante considerado. al sustituir en (18.3), se tine

 

Si se recuerda la regla para determinar las componentes rectangulares de un producto vectorial, se obtiene la siguiente expresión para la componente x de la cantidad de movimiento angular

al sustoitiur las sumas por integrales en esta expresión y en las 2 expresiones similares que se obtienen para Hy y para Hz se tiene

se puede observar que las integrales contienen cuadrados que representan, respectivamente, los momentos de inercia controidales del cuerpo alrededor de los ejes x,y,z; se tiene

de manera similar, las integrales contienen productos de coordenadas que representan los productos de inercia de masas centroidales del cuerpo, se tiene

al sustituir de (18.5) y (18.6) en (18.4), se obtienen las componentes en la cantidad de movimiento angular Hg del cuerpo alrederor de su centro de masa

Las relaciones anteriores muetran que la operación que transforma al vector w en vector Hg, se caracteriza por elarreglo de momentos y productos de inercia en un arreglo matricial

de aqui en adelante se reslizan las operaciones para resolver una matriz por el metodo Gauss-Jordan hasta que solamente queda la diagonal principal con unos o Ix, Iy, Iz, donde estos representan los momentos de inecrcia centroidales principales del cuerpo y las reacciones se reducen a

Adviertase que si los 3 momentros de inercia centroidales principales, son iguales, las componentes Hx, Hy, Hz, de la cantidad de movimiento angular alrederor de G son proporcionales a las componentes wx, wy, wz, de la velocidad angular, y los vexctores Hg y w tendrán direcciones diferentes, excepto cuando las tres componentes de w sean cero, esto es, cuando w apunte alolargo de uno de los ejes de coordenadas.

 



Presentacion de Leyes de Movimiento

Presentacion de Movimientos

Presentacion de Trabajo y Energia

Comentario de la pagina de leyes de newton

Esta pagina esta muy bien organizada ya que contiene desde guías didácticas y guías para alumnos.

También contiene temas muy bien explicados los temas que contiene son:
a) fuerzas y acciones,
b) leyes de newton,
c) fuerzas de rozamiento,
d) sistemas no inerciales;

Además cuenta con un laboratorio de dinámica, y un laboratorio de rozamiento.

Los temas están bien desarrollados y explicados, cuentan con animaciones que te ayudan a comprender mejor los temas a tratar.

En lo personal es una de las paginas que me gustaron y que ayudan en mucho a las estudiantes

La pagina en si es la siguiente:

http://www.ite.educacion.es/pamc/pamc_2007/dinamica_leyes_newton/

Ensayo de «Mapas conceptuales y aprendizaje significativo

El texto original proviene de la pagina http://hydra.dgsca.unam.mx/mapas/Documento_MarcoA_Moreira.pdf, aquí el autor habla sobre la importancia y el como realizar mapas conceptúales como método de la enseñanza, mi manera de comprender la idea del autor es la siguiente:

Los mapas conceptuales son diagramas que nos muestran de manera grafica la relación entre conceptos, entre palabras que se usan para representar conceptos.

Normalmente son confundidos con organigramas o diagramas de flujo, pero no lo son, ya que no llevan una secuencia, eventualidad, ni tienen jerarquías de organización o de poder; los mapas conceptuales son diagramas de significados o de relaciones significativas, estos también poseen una organización jerárquica y en algunas ocasiones incluyen flechas, utilizan figuras geométricas cuando se crean, pero las figuras no significan nada, son utilizadas para tener un orden dentro de los mismos, los generales y mas extenso deben estar dentro de elipses y que los conceptos específicos, dentro de rectángulos; al igual que no significan nada la extensión de la línea que uno un concepto de otro dentro de los diagramas, con la excepción de que dos conceptos estén unidos por una línea es importante para la persona que lo realizo porque para ella estos dos conceptos tienen alguna relación.

Algunos mapas conceptuales siguen un modelo jerárquico, no significa que todos tengan que tener este orden (los conceptos generales en la parte superior y los que son mas específicos en la parte inferior); el hecho de que no se utilice un modelo jerárquico no significa que no debe de tener un orden para que pueda ser comprensible de que se esta hablando, las flechas son utilizadas en ellos cuando se desea dar una dirección o para determinar una relación de conceptos, aunque no es obligatorio.

Lo importante y principal de un mapa conceptual es el hecho de expresar los significados y la relación entre conceptos; de una materia de escuela, en la disciplina, reglas, etc. dentro de los mamas conceptuales se hace la referencia o el uso de palabras o conceptos claves para expones la relación entre estos, los mapas deben de ser explicados por la persona o las personas que los realizan ya que si este es presentado a una persona que no sabe cual fue la manera en el cual fue desarrollado, su comprensión es un poco complicada al no tener una idea de cual es el ordeno, el acomodo que tiene, o su forma de pensar acerca de ese concepto o palabra.

El realizar mapas conceptuales es muy fácil, pude y es usado de diferentes maneras y propósitos, como instrumento de análisis, técnica didáctica, como recurso para facilitar el aprendizaje, como medio de evaluación. Son importantes enfocar la atención de la persona que realiza el mapa, un mapa conceptual puede ser utilizado para el análisis de un currículo ya que este contiene fuentes de conocimiento de la persona que lo realiza como pueden ser artículos de investigación, ensayos, poemas, libros, etc. Los mapas conceptuales son útiles para el análisis de esos documentos ya que son considerados como el conjunto de conocimientos.

Los mapas conceptuales suelen usarse para enseñar y mostrar las relaciones significativas entre los conceptos enseñados en una clase, en una unidad de estudio o en un curso completo. Son utilizadas para facilitar el aprendizaje de temas que pueden ser complicados o para diferenciarlos de temas que tienen conceptos parecidos entre ellos a diferencia de otros tipos de recursos para la enseñanza, este en particular debe de ser explicado por el profesor en temas que necesitan de una visión general de el y con alumnos que están acostumbrados a su uso.

Cuando se dice que a habido un aprendizaje significativo se refiere al hecho de que se adquieren nuevos significados de cierta información para la persona en proceso de aprendizaje que refleja con ideas, conceptos, proposiciones propias de este nuevo conocimiento, otra manera de expresar o demostrar lo que se a aprendido es el relacionar ideas, conceptos y proposiciones que ya han sido establecidas, esto hace que el alumno comprenda dos conceptos similares pero que al momento de representarlos con ejemplos nos muestras que son aplicados de manera muy distinta. Los mapas conceptuales fueron desarrollados para promover el aprendizaje significativo.

Para el aprendizaje significativo se necesita la base de los significados ya establecidos, al realizar algún mapa conceptual es mas fácil el relacionar los significados establecidos dando una idea mucho mas sencilla y aproximada para ser de manera comprensible por el alumno y que al expresar con sus propias palabras lo que están tratando de enseñarle sea mas sencillo, esto lleva a que no exista o pueda ser realizable un mapa conceptual de manera correcta. En pocas palabras lo mapas conceptuales están realizados con significados personales del profesor y el aprendiz, para que sea mas sencilla u asimilación siempre y cuando estén dentro de una aproximación utilizando conceptos del tema a tratar.

Los mapas conceptuales nunca serán iguales ya que cada persona los presentara según sus capacidades y maneras de comprender ciertos temas, los cuales (entiéndase temas) cambian constantemente al mejorar sus bases científicas o al ir avanzando los conceptos que se conocen van cambiando, por lo cual nunca se realizara el mismo mapa conceptual relazado por los alumnos de un grupo, todos serán distintos dependiendo del punto de vista de la persona que lo realiza.

Mi conclusión:
Los mapas conceptuales son de cierta manera simples y confusos en ocasiones ya que en algunos casos no somos capaces de distinguirlos de los diagramas de flujo, incluso de los esquemas, los mapas conceptuales o de conceptos, son una herramienta muy común en los salones de clases ya que son herramientas que ayudan a la comprensión del estudiante para comprender y asimilar de manera correcta los conocimientos que se están tratando de enseñarnos.

Muchas veces es mas sencillo de comprender materias o términos complicados si los asociamos a ejemplos o a puntos de vista de cada persona que analizamos ese termino en común, ya que cada uno lo piensa y razona de manera diferente.

reporte de la pagina newton cnice

se supone que en este espacio deberia ir el resumen de la pagina http://newton.cnice.mec.es/4eso/dinamica/index.htm, el cual no pude realizar ya que el link o la pagina en si no se encuentra en funcionamiento.